<T->
          Coleo A conquista da 
          Matemtica
          Edio renovada MATEMTICA
          9 ano   

          Jos Ruy Giovanni Jr.
          Benedicto Castrucci

          Impresso Braille em 
          9 partes na diagramao de 
          28 linhas por 34 caracteres, 
          da 1 edio, So Paulo, 
          2009, Editora FTD

          Quinta Parte

          Ministrio da Educao 
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro
          RJ -- Brasil
          Tel.: (21) 3478-4400
          Fax: (21) 3478-4444
          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~,
          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2012 --
<p>
          Coleo A conquista da 
          Matemtica
          Copyright (C) Jos Ruy 
          Giovanni Jnior e Benedicto Castrucci, 2009 
         
          Gerente editorial
          Silmara Sapiense Vespasiano
          Editora
          Rosa Maria Mangueira
          Coordenador de produo editorial
          Caio Leandro Rios
          Pesquisadores
          Clia Rosa e 
          Daniel Cymbalista 

          Todos os direitos reservados 
          EDITORA FTD S.A.
          Matriz: Rua Rui Barbosa, 156 -- Bela Vista -- 
          So Paulo -- SP
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          E-mail: ~,exatas@ftd.com.br~,

                                I
<R+>
 Sumrio 

 Quinta Parte

 Unidade 6

 40 -- Analisando a funo 
  y=ax2+bx+c quanto ao 
  sinal :::::::::::::::::::: 531 
 Tratando a informao ::::: 546 
 Retomando o que 
  aprendeu ::::::::::::::::: 548 

 Unidade 7

 Segmentos 
  Proporcionais ::::::::::: 551 
 41 -- Razo e 
  proporo :::::::::::::::: 553 
 42 -- Segmentos 
  proporcionais :::::::::::: 557 
 Quando quatro segmentos so 
  proporcionais :::::::::::: 568 
 43 -- Feixe de retas 
  paralelas :::::::::::::::: 571 
 Propriedade de um feixe de 
  retas paralelas :::::::::: 573 
 44 -- Teorema de 
  Tales ::::::::::::::::::: 577 
 45 -- Aplicaes do 
  teorema de Tales :::::::: 589 
 Teorema de Tales nos 
  tringulos ::::::::::::::: 589 
 Teorema da bissetriz 
  interna de um 
  tringulo :::::::::::::::: 599 
 Retomando o que 
  aprendeu ::::::::::::::::: 605 
 
 Unidade 8

 Semelhana :::::::::::::::: 617
 46 -- Figuras 
  semelhantes :::::::::::::: 618 
 Encontrando semelhanas ::: 619 
 47 -- Polgonos 
  semelhantes :::::::::::::: 630
 Uma propriedade 
  importante ::::::::::::::: 641 

<189> 
<ta c. da mat. 9 ano>
<T+531>
 40 -- Analisando a funo 
  y=ax2+bx+c quanto ao sinal

  Acompanhe os exemplos a seguir.

<R+>
 1- Dada a funo y=x2-2x-8, verificar quais so os valores reais de x para que se tenha:
 a) y=0 
 b) y>0 
 c) y<0
<R->

  Lembre-se: como a=1>0, a parbola tem a concavidade voltada para cima.

<R+>
 Inicialmente, vamos analisar o coeficiente *a* e o discriminante
d da funo para podermos fazer um esboo do
grfico que a representa:
 a=1>0
 d=b2-4ac=`(-2`)2-4`(1`)
  `(-8`)=4+32=36>0
<p>
 A parbola corta o eixo x em dois pontos de abscissas x e x:
 x=?-b+:-d*2a=?-`(-2`)+:-
  +:-36*?2`(1`)*=?2+:-6*2
 x=?2+6*2=82=4
 x=?2-6*2=-42=-2 

 Agora podemos fazer o esboo do grfico _`[no adaptado_`] e dar a resposta:
 a) y=0 para x=-2 ou x=4.
 b) y>0 para o intervalo 
  ~lx,_r,x<-2 ou x>4_,.
 c) y<0 para o intervalo 
  ~lx,_r,-2<x<4_,.

 2- Dada a funo y=x2-4x+4, verificar para quais valores reais de x vamos ter:
 a) y=0 
 b) y>0 
 c) y<0

 Como a=1>0, a concavidade da parbola est voltada para cima.
 d=b2-4ac=`(-4`)2-4`(1`)
  `(4`)=16-16=0
<p>
 Como d=0, a parbola tangencia o eixo x.
 xv=-b2a=-`(-4`)?2`(1`)*=
  =42=2
 Esboo do grfico _`[no adaptado_`]:
 a) y=0 para x=2.
 b) y>0 para ~lx,_r,x=2_,.
 c) y nunca ser negativo. 

<190>
 3- Dada a funo y=-x2+2x-
  -10, determinar para quais valores reais de x vamos ter:
 a) y=0 
 b) y>0 
 c) y<0
<R->

  Lembre-se: como a=-1<0, a concavidade da parbola est voltada para baixo.

<R+>
 d=b2-4ac=`(2`)2-4`(-1`)
  `(-10`)=4-40=-36<0
 A parbola _`[no adaptada_`] no vai cortar o eixo x:
<p>
 a) y nunca ser zero. 
 b) y nunca ser positivo.
 c) y ser sempre negativo, para qualquer valor real de x.

 4- Para quais valores reais de x a funo y=-5x2+4x+1  positiva?
  Como a=-5<0, a concavidade da parbola est voltada para baixo.
 d=b2-4ac=`(4`)2-4`(-5`)
  `(1`)=16+20=36
 A parbola corta o eixo x em dois pontos:
 x=?-b+:-d*2a=?-`(+4`)+:-
  +:-36*?2`(-5`)*=
  =?-4+:-6*-10
 x=?-4+6*-10=2-10=-15
 x=?-4-6*-10=-10-10=1
 Esboo do grfico _`[no adaptado_`]:
 Pelo esboo do grfico, a funo  positiva para -15<x<1, ou seja,
y>0 para ~lx,_r,
  ,-15<x<1_,.

<p>
 5- Resolver, em _r, a inequao -9x2+6x-1<0.
  A inequao dada  uma inequao do 2 grau na incgnita x.
  Para resolv-la, vamos aplicar o que aprendemos, quanto ao sinal, com a anlise da
funo quadrtica.
  Como a=-9<0, a concavidade da parbola representada por y=-9x2+6x-1
est voltada para baixo.
 d=b2-4ac=`(6`)2-4`(-9`)
  `(-1`)=36-36=0
 Logo, como d=0, a parbola tangencia o eixo x.
 xv=-b2a=-`(6`)?2`(-9`)*=
  =-6-18=13
 Esboo do grfico _`[no adaptado_`]:
 Como a inequao pede valores de
x tais que y<0, a soluo dessa
inequao :
 S=~lx,_r,x=13_,.

<191>
<p>
 6- Determinar os valores reais de x para os quais o produto `(x-7`)`(x+3`)  maior que 11.
  Pelo problema apresentado, temos:
 `(x-7`)`(x+3`)>11
 x2-4x-21>11
 x2-4x-21-11>0
 x2-4x-32>0 -- inequao do 2 grau na incgnita x
 Como a=1>0, a concavidade da parbola representada por y=x2-4x-32 est voltada para cima.
 d=b2-4ac=`(-4`)2-4`(1`)
  `(-32`)=16+128=144>0
 A parbola corta o eixo x em dois pontos:
 x=?-b+:-d*2a=?-`(-4`)+:-
  +:-144*?2`(1`)*=?4+:-
  +:-12*2
 x=?4+12*2=162=8
 x=?4-12*2=-82=-4
 Esboo do grfico _`[no adaptado_`]:
 Como a inequao nos pede valores
reais de x para os quais y>0, a soluo
dessa inequao :
 S=~lx,_r,x<-4 ou x>8_,
 Ento o produto `(x-7`)`(x+3`)  maior que 11 para x real, com x<-4 ou x>8.

 Exerccios

 1. Para quais valores reais de x a funo y=x2-x-6 :
 a) nula `(y=0`)?
 b) positiva `(y>0`)?
 c) negativa `(y<0`)?

 2. Dada a funo y=9x2-8x-
  -1, determine
os valores reais de x para os quais se tem:
 a) y=0 
 b) y>0 
 c) y<0

 3. Dada a funo y=-x2+5x, determine os
valores reais de x para que se tenha:
 a) y=0
 b) y>0 
 c) y<0

<p>
 4. Sabendo que y=-x2+10x-25, determine
os valores reais de x para que se tenha:
 a) y=0 
 b) y>0 
 c) y<0

 5. Analise a funo y=x2-
  -6x+15 quanto ao sinal.
 6. Dada a funo y=x2-9x-10, calcule os valores reais de x para que se tenha y>0.
 7. Existem valores reais de x para os quais x2-8x+16<0?
 8. Existem valores reais de x para os quais a funo y=2x2-
  -x+3  positiva `(y>0`)?
 9. Determine a soluo da inequao do 2 grau x2+3x<0, em _r.
 10. Determine a soluo, em _r, da inequao do 2 grau `(x-1`)2+x>3.
<192>
 11. Para quais valores reais de x a expresso
x3-1  menor, numericamente, que a expresso
x3-x2+5x-5?
<p>
 12. Qual  o menor inteiro positivo x que verifica
a inequao `(3x-1`)`(x-2`)>2`(x2-2`)?
 13. Qual  o menor e qual o maior nmero inteiro
x que faz com que a expresso x2-5x-36
seja menor que zero?
 14. Para que valores reais de x a funo
y=x2-10x+21  negativa?
 15. Existe algum valor real de x que satisfaa
a inequao 4x2-3<12`(x-1`)?
 16. Qual  a soluo, no conjunto _r, da inequao
8`(x2-3`)+
  +1<5`(x2-1`)-6?
 17. Determine os valores reais de x para os
quais a rea do retngulo da figura  maior
que 9.

<p>
<F->
      x+6
!:::::::::::::::
l               _
l               _
l               _ x-2
l               _
h:::::::::::::::j
<F+>

 Brasil Real

 wr Sade
  Meio Ambiente
  Histria

 Energia poderosa e perigosa
<R->

  Quando se fala em energia nuclear,  bem
possvel que pensemos na bomba atmica.
Ainda est presente para ns o trauma de 
 Hiroshima e Nagasaki, duas cidades japonesas
que foram destrudas por bombas atmicas,
lanadas por avies do Exrcito dos EUA, em
1945, durante a Segunda Guerra Mundial.
  Cerca de 200 mil pessoas foram mortas nesses
ataques e, at hoje, milhares de pessoas
apresentam sequelas decorrentes da exposio
 radioatividade.
  A evoluo da tecnologia nuclear, desse perodo
at hoje, foi enorme, mas vale lembrar
que ainda no dominamos totalmente essa
tecnologia. Os problemas com os rejeitos radioativos
e os acidentes nucleares registrados
na histria demonstram que h falhas
no modo pelo qual essa energia  gerada nas
usinas nucleares.
  Em abril de 1986, ocorreu o maior acidente
nuclear registrado at agora: a exploso de
um dos quatro reatores da usina nuclear sovitica
de Chernobyl, que lanou na atmosfera
uma nuvem radioativa que cobriu todo
o Centro-Sul da Europa.
<193>
  Metade das substncias radioativas volteis que existiam no ncleo desse reator foram lanadas
na atmosfera (principalmente iodo e csio). A Ucrnia, a Bielo-
 -Rssia e o Oeste da Rssia
foram atingidos por uma precipitao radioativa de mais de 50 toneladas.
  Enquanto mdicos e cientistas vo descobrindo mais efeitos danosos de Chernobyl, outros
acidentes nucleares continuam a ocorrer em todo o planeta.
  No Brasil, em setembro de 1987, a violao de uma cpsula de csio-137, por sucateiros da cidade
de Goinia, matou quatro pessoas e contaminou cerca de 250 indivduos. Outras pessoas
tambm morreram mais tarde de doenas degenerativas relacionadas  radiao.
  Atualmente, existem mais de 400 usinas
nucleares em operao no mundo,
sendo a maioria delas localizada
nos Estados Unidos, na Frana, na
Inglaterra e em pases do Leste Europeu.
  No Brasil, a Central Nuclear Almirante
lvaro Alberto  formada pelo
conjunto das usinas nucleares Angra
1, Angra 2 e Angra 3, localizadas no
litoral do Rio de Janeiro.
  O desenvolvimento da energia nuclear
no Brasil se deu pela necessidade
do abastecimento energtico em
todas as partes do pas, para no depender
somente de hidroeltricas ou
termoeltricas. O governo brasileiro
em nenhum momento declarou, no
Programa Nuclear, estar interessado
em qualquer tecnologia blica, como
a da bomba atmica.

<R+>
 _`[Duas fotos_`]
 Legenda 1: Helicptero sobrevoa a usina de
Chernobyl, aps o acidente de 1986, com
tcnicos medindo o nvel de radiao.
<p>
 Legenda 2: Angra 1 tem capacidade total de
657 mW e Angra 2, 1.350 mW.

 Fontes:
 ~,www.fapesp.br~, 
 ~,www.aben.com.br~,
 ~,www.pm.go.gov.br~, e
 ~,www.greenpeace.org.br~,
 Acesso em: 1 ago. 2007.

 Chegou a sua vez!

 1. Considere uma funo definida por: R=^aD2+^bD, sendo ^a e ^b constantes.
 a) Determine os valores de R, para D=1 e D=2.
 b) Se ^a=1 e ^b=3, qual  o aumento de R, em porcentagem, devido a uma variao em D de 1 para 2?
<R->

  Dica: aumento percentual = valor do aumento  valor inicial 100

<194>
<p>
<R+>
 2. (UFABC) A funo que relaciona o risco R de morte de um indivduo quando ele se submete
 dose D de radiao  dada por R=^aD2+^bD. Com relao a um indivduo que tenha sido submetido
 contaminao radioativa em Chernobyl, o aumento de R, em porcentagem, devido a
uma variao em D de 1 para 2 unidades :
 a) ?100`(3^a+^b`)*?^a+^b*
 b) ?50`(^a+^b`)*2^a+^b*
 c) ?100`(^a+^b`)*?^a2+^b*
 d) ?50`(^a+^b`)*?^a2+^b*
 e) ?100`(2^a+^b`)*?2^a+^b*
<R->

  Dica: Observe o que voc fez na questo 1.

<R+>
 3. (PUC-MG) A funo que relaciona o risco R de morte de um indivduo com a dose D de radiao
a que ele  submetido  dada por R=1,5D2+D. Com relao a um indivduo que tenha
sido submetido a uma contaminao radioativa, o aumento de R, em porcentagem, devido a
uma variao de D de 1 para 2, :
 a) 80% 
 b) 130% 
 c) 179% 
 d) 220%
<R->

 Tratando a informao

 wr Energia

  A energia nuclear  obtida em centrais nucleares a partir de reatores de fisso. Nesses reatores,
acontecem as reaes nucleares geradoras de calor, que  transformado sucessivamente em
energia mecnica e depois em energia eltrica, a qual  transportada e distribuda, atravs da rede
eltrica, para os consumidores.
  A tabela a seguir mostra as fontes de energia eltrica no mundo. Observe:

<p>
<R+>
 Gerao de energia eltrica no mundo

 !::::::::::::::::::::::::::::
 l  Fonte de   _ Porcentagem _
 l    energia   _              _
 r::::::::::::::w::::::::::::::w
 l carvo       _ 40          _
 l hidreltrica _ 18          _
 l petrleo     _ 11          _
 l gs          _ 15          _
 l nuclear      _ 16          _
 h::::::::::::::j::::::::::::::j

 Fonte: ~,www.conpet.gov.br~,
  Acesso em: 3 fev. 2009.

 Chegou a sua vez!

 1. Qual a maior fonte de energia no mundo? E a menor?
 2. Faa um grfico de barras com os dados da tabela.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>
<195>

 Retomando o que aprendeu

 _`[{para os exerccios 2 e 11 pea orientaao ao professor_`]

 1. A soma y dos x primeiros nmeros inteiros
positivos  uma funo dada pela lei a seguir:

 y=12x2+12x

 a) Qual a soma dos 40 primeiros nmeros inteiros positivos?
 b) Determine a quantidade de nmeros inteiros positivos quando a soma  210.

 2. Para cada funo quadrtica dada a seguir,
indique no caderno as coordenadas do vrtice,
organize uma tabela conveniente e faa o grfico
cartesiano.
 a) y=-x2+9
 b) y=x2-5x
 c) y=x2-4x-5
 d) y=x2+x+14

<p>
 3. Uma funo quadrtica  dada pela lei
y=`(k-3`)x2+x. Para que valores de k o grfico dessa 
funo  uma parbola com a concavidade
voltada para cima?

 4. Para cada funo quadrtica a seguir, identifique
o ponto de mximo ou de mnimo e d suas coordenadas.
 a) y=x2-25
 b) y=-x2+25
 c) y=-x2+10x
 d) y=4x2+4x+1

 5.  dada a funo y=-x2+9. Para quais
valores reais de x vamos ter:
 a) y=0?
 b) y>0?
 c) y<0?

 6. Determine o menor inteiro negativo x que
satisfaa a inequao x2+3x-10<0.

<p>
 7. Um mssil  lanado de um submarino e
desenvolve a trajetria da parbola descrita
pela lei y=-13x2+73x-2. Essa trajetria 
interrompida quando o mssel atinge uma rocha
em um lago.
 a) Para quais valores de x esse mssil percorre fora da gua?
 b) Que coordenadas `(x,y`) do a posio da pedra?

 8. Determine a soluo da inequao
x2-36<0 em _r.
 9. A funo y=x2-2x+8  positiva para
todo valor real de x. Essa afirmao  verdadeira
ou falsa?
 10. Determine o maior inteiro positivo x que
satisfaz a inequao -x2+13x-22>0.
 11. Determine os valores reais de x para os
quais o volume do paraleleppedo retngulo da
figura _`[no adaptada_`]  maior que 20.
<R->

               oooooooooooo
<L>
<196>
 Unidade 7

 Segmentos Proporcionais

 Onde encontrar a beleza?

  Desde tempos remotos, o ser
humano busca o Belo.
  Para Plato (428-348 a.C.), um
dos aspectos da beleza era a
proporo.
  Pitgoras, filsofo e matemtico
grego (571-497 a.C.), j trabalhava
com as propores na Msica.

<R+>
 _`[{afresco_`]
 Legenda: Detalhe da obra
  *A Escola de Atenas*, de 
  Rafael Sanzio,
1509-1511. Nele, 
possvel observar
a representao de
Pitgoras explicando
sua teoria musical.

<p>
 A proporo no estudo dos sons musicais
<R->

  A Escola Pitagrica foi fundada por Pitgoras e exerceu enorme
influncia no desenvolvimento da Matemtica. Grandes pensadores
da poca foram membros dessa escola.
  Atribuiu-se  Escola Pitagrica a descoberta de regras que relacionavam
os comprimentos das cordas de instrumentos musicais s alturas dos
sons (mais graves ou mais agudos) emitidos, concluindo-se que as
relaes que produziam sons harmoniosos seguiam a proporo dos
nmeros inteiros simples, como: 12, 23, 34.
  Assim, duas cordas vibrantes, de mesma espessura e sob igual
tenso, cujos comprimentos estejam, por exemplo, na razo 2 para 1,
produzem dois sons musicais unssonos com intervalo de uma oitava
(acima ou abaixo).

<R+>
 _`[{desenho de um pentagrama_`]
 Legenda: O pentagrama era o smbolo da Escola Pitagrica.

 Fonte: ~,www.ime.usp.br~,
  Acesso em: 6 fev. 2009.
<R->

  Leonardo Da Vinci
(1452-1519) usou as
relaes de proporo
para desenhar o rosto
humano.

<R+>
 _`[{desenho_`]
 Legenda: Detalhe de *Estudo para a batalha de Anghiari*, de Leonardo da Vinci.

               ::::::::::::::::::::::::

<197>
 41 -- Razo e proporo

 Explorando

 1. Determine a razo entre:
 a) os nmeros 14 e 20.
 b) os nmeros 35 e 50.
<R->

  Lembre-se: dados dois nmeros reais
*a* e *b*, com b=0, chama-se razo do
primeiro para o segundo o quociente
de *a* por *b*, ou seja, ab.

<R+>
 2. A razo entre 14 e 20  igual  razo entre
35 e 50?
 3. Quatro nmeros, dados numa certa
ordem, so proporcionais quando a razo
entre os dois primeiros  igual 
razo entre os dois ltimos. De acordo
com essa definio, voc pode afirmar
que os nmeros 14, 20, 35 e 50, nessa
ordem, so proporcionais?
 4. Toda proporo  uma igualdade entre
duas razes. Portanto, quando quatro
nmeros so proporcionais eles formam
uma proporo. De acordo com
a resposta do exerccio 3, voc pode
afirmar que os nmeros 14, 20, 35 e 50,
nessa ordem, formam uma proporo?
Em caso afirmativo, escreva no caderno
essa proporo.
<R->
<L>
 wr Histria

 A proporo na histria

  A ideia de proporo e sua aplicao em Geometria so bastante antigas.
  Aproximadamente em 600 a.C., Tales, matemtico e comerciante da cidade
grega de Mileto, desenvolveu um dos trabalhos mais importantes sobre esse assunto.

 A descoberta de Tales

  Ele observou que, num mesmo
instante, a razo entre a altura
de um objeto e o comprimento
da sombra que esse objeto
projetava no cho era sempre a
mesma, para quaisquer objetos.

 O desafio da pirmide

  Conta-se que Tales, em uma de suas viagens ao Egito, foi desafiado a medir a
altura da grande pirmide de Quops.
  Com apenas um basto e aplicando os conhecimentos que tinha sobre segmentos
proporcionais, Tales venceu o desafio. Ele sabia que a razo entre a altura da pirmide
e o comprimento da sombra projetada pela pirmide (aumentado pela metade do
comprimento da aresta da base) era igual  razo entre a altura do basto e o comprimento
da sombra projetada por esse basto; bastava, portanto, fazer os clculos!

<R+>
 _`[{foto: pirmides_`]
 Legenda: Calcula-se que a construo de Quops
durou cerca de trs dcadas, e a sua
altura era de 146,6 m. Consta como poca
de sua construo o ano de 2551 a.C.
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<198>
<p>
 42 -- Segmentos proporcionais

  Chamamos de razo entre dois segmentos de reta a razo entre os nmeros que
expressam as medidas desses segmentos, sempre tomados na mesma unidade.
  Observe os exemplos:

<R+>
 1- Se o segmento A{b=6 cm, e o segmento C{d=12 cm, vamos descobrir a razo entre
eles.
<R->

  Lembre-se: A{b representa
a medida do segmento ^c?A{b*.

<R+>
 A{bC{d=612=12 ou 0,5
 12 -- razo procurada

 2- Qual a razo entre os segmentos ^c?A{b* e ^c?D{e*, com A{b=60 cm e D{e=2 m?
  Vamos, inicialmente, transformar as duas medidas na mesma unidade:
 A{b=60 cm
 D{e=2 m=200 cm

 A{bD{e=60200=310 ou 0,3.
 310 -- razo procurada
<R->

  Como as medidas de dois segmentos so sempre expressas por nmeros positivos, a
razo entre dois segmentos tambm  um nmero real positivo.
  Sendo um nmero real, a razo pode ser:
<R+>
 o um nmero racional. Nesse caso dizemos que os segmentos so comensurveis.
 A{bC{d=12 -- ^c?A{b* e ^c?C{d* so segmentos comensurveis
  12 -- nmero racional 
 A{bD{e=103 -- ^c?A{b* e ^c?D{e* so segmentos comensurveis
  103 -- nmero racional
 o um nmero irracional. Nesse caso dizemos que os segmentos so incomensurveis.
 M{nP{q=25 -- ^c?M{n* e ^c?P{q* so segmentos incomensurveis
  25 -- nmero irracional
<R->
  Um caso tpico do uso da razo entre dois segmentos  a escala, que voc j estudou:

<R+>
 escala = comprimento do desenho  comprimento no real
<R->

<199>
  Veja algumas aplicaes da razo entre segmentos proporcionais em mapas.

 wr Geografia

<R+>
 1- Em um mapa, a distncia em linha reta entre
Petrpolis e Vassouras, cidades do interior do estado
do Rio de Janeiro,  0,6 cm. Sabendo que a distncia
real, em linha reta,  57 km, qual foi a escala usada nesse
mapa?
 57 km=5.700.000 cm
 escala =0,65.700.000=
  =657.000.000=19.500.000
 Logo, a escala usada nesse mapa foi 1:9.500.000.
<p>
 Como 9.500.000 cm=95 km, cada 1 cm no
mapa corresponde a 95 km da distncia real. 

 _`[Foto_`]
 Legenda: Vassouras foi fundada no incio do sculo XIX.
A cidade possui um ncleo histrico preservado,
protegido pelo tombamento em 1958.

 wr Histria

 2- Em 1988 foi criado o estado de Roraima, antigo territrio federal. Boa Vista,
capital do estado, possui clima quente e mido, com duas estaes climticas bem definidas:
a estao das chuvas, de abril a setembro, e o vero, de outubro a maro. A distncia
em linha reta entre Boa Vista e Braslia  5 cm em um mapa com escala de 1:50.000.000.
Qual  a distncia real, em quilmetros, em linha reta entre Braslia e Boa Vista?
 1:50.000.000=150.000.000
 150.000.000=5x -- sendo x a distncia real
 Observando a propriedade fundamental das
propores, temos:
 x=550.000.000
 x=250.000.000 cm=2.500 km
 Logo, a distncia real entre Braslia e Boa
Vista em linha reta  2.500 km.

 _`[Foto_`]
 Legenda: O Monumento aos Garimpeiros, em Boa Vista,  uma
homenagem ao perodo em que o garimpo movimentava
a economia local, nas dcadas de 1970 e 1980.

 Exerccios

 1. Considere dois segmentos, A{b=8 cm e
C{d=20 cm. Qual  a razo de ^c?A{b* para ^c?C{d*, nas
formas fracionria e decimal?
<p>
 2. So dados dois segmentos: o primeiro mede
2 m e o segundo, 80 cm. Qual  a razo do primeiro
para o segundo?
 3. A razo entre dois segmentos  0,4, e o
maior deles mede 8 cm. Qual  a medida do
menor segmento, em metros?
 4. Na figura a seguir, *a* representa a medida do
segmento ^c?A{b* e *b*, a medida do segmento ^c?B{c*.

<F->
A     B          C
r::::::w:::::::::::w
    a        b
<F+>

 Sabendo que *a* e *b* correspondem s razes da
equao do 2 grau x2-24x+135=0, determine
*a* e *b* e calcule a razo de ^c?A{b* para ^c?B{c*.

<200>
<p>
 Brasil Real

 wr Histria
  Turismo
  Geografia

 1. Capital da Repblica Federativa do Brasil, Braslia est localizada no territrio do Distrito
Federal. Inaugurada em 21 de abril de 1960 pelo ento presidente Juscelino 
  Kubitschek, Braslia
 a terceira capital do Brasil.
  Pesquise e responda:
 a) Que outras cidades foram capitais do Brasil e em que ordem?
 b) Em um mapa, a distncia entre Braslia e Salvador, em linha reta,  21,2 cm. Se a distncia
real, em linha reta,  1.060 km, em qual escala o mapa foi confeccionado?
 c) Um mapa foi confeccionado na escala 1:10.000.000. Em linha reta, a distncia real entre
Braslia e Florianpolis, capital do estado de Santa 
  Catarina,  1.310 km. Qual a distncia
entre as duas cidades nesse mapa?

 _`[{foto_`]
 Legenda: O Memorial JK,
projetado por
Oscar Niemeyer,
 um museu
dedicado ao
ex-presidente
brasileiro Juscelino
  Kubitschek.
Foi inaugurado
em 12 de setembro
de 1981, em
Braslia (DF).
<R->

  Braslia  classificada como patrimnio cultural da humanidade pela Unesco (Organizao das Naes
Unidas para a Educao, a Cincia e a Cultura). Recebe um milho de visitantes por ano, e dentre suas
atraes mais visitadas est o Memorial JK.
  A Lista do Patrimnio 
 Mundial, Cultural e Natural da Unesco  composta de stios e monumentos de valor
excepcional e interesse universal, cujos desaparecimentos se constituiriam em enorme perda para toda a
humanidade.
  Veja os bens culturais brasileiros que integram essa lista e o ano em que cada um deles foi inserido nessa
relao:
<R+>
 o Cidade Histrica de Ouro Preto (MG)  1980;
 o Centro Histrico de Olinda (PE)  1982;
 o Misses Jesuticas dos 
  Guaranis (RS)  1983;
 o Centro Histrico de Salvador (BA)  1985;
 o Santurio de Bom Jesus de Matosinhos, em Congonhas do Campo (MG)  1985;
 o Braslia (DF)  1987;
 o Os stios arqueolgicos de So Raimundo Nonato, no 
  Parque Nacional da Serra da Capivara (PI)  1991;
 o Centro Histrico de So Lus (MA)  1997;
<p>
 o Centro Histrico da Cidade de Diamantina (MG)  1999;
 o Centro Histrico da Cidade de Gois (GO)  2001.

 Fonte: ~,http:whc.unesco.org~, 
  Acesso em: 4 fev. 2009.
<R->

  Escolha um dos bens culturais brasileiros listados pela Unesco e pesquise os motivos de sua insero nessa lista.

<201>
<R+>
 2. A Bandeira Nacional brasileira, adotada pelo decreto de 19 de novembro de 1889, tem largura
de 14 mdulos e comprimento de 20 mdulos. Assim, a razo entre a largura e o comprimento
da bandeira  1420, que  igual a 710.
  Outra lei, de 1971, disps que: Podero ser fabricados tipos extraordinrios de dimenses maiores,
menores ou intermedirias, conforme as condies de uso, mantidas, entretanto, as devidas
propores.
  Em outras palavras, a lei garante que a nossa bandeira pode ser reproduzida em qualquer tamanho,
desde que se mantenha constante a razo entre a largura e o comprimento.

 _`[{desenho da bandeira nacional_`]
 Legenda: Esquema baseado no desenho modular da Bandeira 
  Nacional.
<R->

  As estrelas da bandeira
foram inspiradas na vista do
cu do Rio de Janeiro do dia
15 de novembro de 1889, dia
da Proclamao da Repblica.

<R+>
 Fonte: ~,www.radiobras.gov.br~,
  Acesso em: 4 fev. 2009.

 a) De acordo com a lei de 1971, voc pode confeccionar uma bandeira brasileira com 1,75 metro
de largura por 2,5 metros de comprimento?
 b) Se voc quiser confeccionar uma bandeira brasileira com 30 metros de comprimento, qual
dever ser a largura da sua bandeira para que as condies de medidas legalmente estabelecidas
sejam mantidas?
 c) Em 27 de maro de 2002, uma imensa bandeira brasileira, de 55 metros de comprimento e
pesando 410 quilos, cobriu o prdio do Conselho Regional de Engenharia, Arquitetura e Agronomia
(CREA), no Rio de Janeiro. Ela foi confeccionada e posicionada no prdio por estudantes
universitrios em um ato pela cultura nacional. De acordo com a legislao, quantos metros de
largura deveria ter essa bandeira?

 Quando quatro segmentos so 
  proporcionais
<R->

  Pelas definies de proporo e razo de segmentos, podemos dizer que quatro segmentos,
^c?A{b*, ^c?C{d*, ^c?E{f* e ^c?G{h*, nessa ordem, so proporcionais, quando a razo entre os dois
primeiros for igual  razo entre os dois ltimos, ou seja:

  ^c?A{b*, ^c?C{d*, ^c?E{f* e ^c?G{h* so, nessa ordem, proporcionais, quando A{bC{d=
 =E{fG{h.

  Lembre-se de que as medidas dos segmentos devem estar na mesma unidade para
formar a proporo. Veja alguns exemplos a seguir.

<202>
<R+>
 1- Os segmentos A{b=4 cm, C{d=6 cm, E{f=8 cm e G{h=12 cm formam, nessa ordem,
uma proporo?
 A{bC{d=46
 E{fG{h=812=46
 A{bC{d=E{fG{h
 Logo, os segmentos ^c?A{b*, ^c?C{d*, ^c?E{f* e ^c?G{h*, nessa ordem, so proporcionais.

 2- Quatro segmentos, ^c?A{b*, ^c?M{n*, ^c?P{q* e ^c?X{y*, nessa ordem, so proporcionais.
  Se A{b=5 cm, M{n=15 cm e P{q=4 cm, vamos encontrar a medida de ^c?X{y*.
 Como ^c?A{b*, ^c?M{n*, ^c?P{q* e ^c?X{y* so proporcionais, temos: A{bM{n=
  =P{qX{y.
 Mas A{bM{n=515=13.
 Ento: P{qX{y=13 :> 4X{y=13 :> X{y=12 cm.

 Exerccios

 1. So dados quatro segmentos, ^c?A{b*, ^c?C{d*, ^c?E{f* e ^c?G{h*, tais que A{b=20 cm, C{d=50 cm, E{f=80 cm e
G{h=200 cm. Verifique se esses segmentos, na ordem dada, so proporcionais.
 2. Use uma rgua graduada e mea, em centmetros, cada um dos seguintes segmentos:
  De acordo com as medidas obtidas, voc pode afirmar que os segmentos ^c?A{b*, ^c?C{d*, ^c?M{n* e ^c?P{q*, nessa
ordem, so proporcionais? Por qu?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 3. Quatro segmentos, ^c?M{n*, ^c?R{s*, ^c?P{t* e ^c?X{y*, nessa ordem, so proporcionais. Sabendo-se que M{n=12 cm,
R{s=15 cm e X{y=8 cm, qual  a medida, em centmetros, do segmento ^c?P{t*?

               ::::::::::::::::::::::::

<203>
 43 -- Feixe de retas paralelas
<R->

  Voc j sabe que duas retas de um plano so paralelas quando no possuem pontos
em comum, ou seja:

<p>
<R+>
 r_ls <:> *r* e *s* so coplanares e r_s=_j 
<R->
 
 _l -- paralelas 
 _ -- interseco

  Se tomarmos trs ou mais retas paralelas entre si, obteremos um feixe de retas paralelas,
que chamaremos simplesmente feixe de paralelas.
  Uma reta que corta um feixe de paralelas  denominada reta transversal.
  Feixe de retas paralelas: r_ls_lm_lu_lv.
  Reta *t*: transversal.

<p>
<F->
             t
             
::::::::::::t:::::::::: r
           
::::::::::t:::::::::::: s
         
::::::::t:::::::::::::: m
       
::::::t:::::::::::::::: u
     
::::t:::::::::::::::::: v
   
<F+>

<R+>
Propriedade de um feixe de retas paralelas
<R->

  Consideremos um feixe de retas paralelas cortadas por uma reta transversal *t*:

<p>
<F->
             t
          {a 
::::::::::::t:::::::::: a
        {b 
::::::::::t:::::::::::: b
      {c 
::::::::t:::::::::::::: c
    {d 
::::::t:::::::::::::::: d
  {e 
::::t:::::::::::::::::: e
   
<F+>

  Como podemos ver na figura, na transversal ficam determinados os segmentos ^c?A{b*, ^c?B{c*, ^c?C{d* e ^c?D{e*.
  Medindo os segmentos com uma rgua, obtemos: 

<R+>
 A{b=B{c=C{d=D{e=1 cm :> ^c?A{b*==^c?B{c*==^c?C{d*==
  ==^c?D{e*
<R->

 == --  congruente a

<204>
  Vamos, agora, traar uma reta *m*, tambm transversal ao feixe de paralelas, determinando
os segmentos ^c?M{n*, ^c?N{p*, ^c?P{q* e ^c?Q{r*:

 _`[Reta no adaptada_`]

  Medindo os segmentos, obtemos:

<R+>
 M{n=N{p=P{q=Q{r=1,5 cm :> ^c?M{n*==^c?N{p*==^c?P{q*==
  ==^c?Q{r*
<R->

  Repetindo esse procedimento, traamos outras transversais ao feixe de paralelas e verificamos
que os segmentos determinados em cada transversal sero congruentes entre si.
  De modo geral, temos:

  Se um feixe de retas paralelas determina segmentos congruentes sobre uma transversal,
tambm determina segmentos congruentes sobre qualquer outra transversal.

<p>
  Vamos fazer a demonstrao usando um feixe de trs retas paralelas.
  Sejam a_lb_lc e as retas *t* e *m* duas transversais, tais que ^c?A{b*==^c?B{c*. Vamos provar
que ^c?M{n*==^c?N{p*.

<F->
        t     m
     {a       {m
:::::::t:::::::::::::: a
   {b           {n
:::::t:::::::::::::::: b
 {c               {p
:::t:::::::::::::::::: c
                   
<F+>

  Traamos por M e N retas paralelas  reta *t*.
<R+>
 o A{b{r{m  um paralelogramo :> ^c?A{b*==^c?M{r*.
 o B{c{s{n  um paralelogramo :> ^c?B{c*==^c?N{s*.
 o Como ^c?A{b*==^c?B{c* (dado) :> ^c?M{r*==^c?N{s*. I
 o :?R{m{n*==:?S{n{p* (ngulos correspondentes). II
<p>
 o :?M{r{n*==:?N{s{p* `(b_lc e ^c?M{r*_l^c?N{s*`). III
<R->
  Por I, II e III, temos tringulo M{r{n== tringulo N{s{p (caso de congruncia de tringulos A{l{a  ngulo,
Lado, ngulo).
  Portanto, ^c?M{n*==^c?N{p*.
  Essa demonstrao pode ser estendida a um feixe de mais de trs retas paralelas.

               ::::::::::::::::::::::::

<205>
 44 -- Teorema de Tales

  Vamos ver o que acontece quando os segmentos determinados por um feixe de paralelas
sobre duas transversais no so congruentes entre si.
<R+>
 o Sejam as retas a_lb_lc, que determinam sobre a transversal *t* os segmentos ^c?A{b* e ^c?B{c* e
sobre a transversal *m* os segmentos ^c?M{n* e ^c?N{p*.

<F->
        t     m
     {a       {m
:::::::t:::::::::::::: a
   {b           {n
:::::t:::::::::::::::: b
 {c               {p
:::t:::::::::::::::::: c
                   
<F+>

 o Vamos tomar uma unidade *u* tal que A{b=2u e B{c=3u. Dividimos, assim, os segmentos
^c?A{b* e ^c?B{c* em duas e trs partes, respectivamente, de modo que os 5 segmentos
obtidos sejam congruentes.

 _`[Reta no adaptada_`]

 o Pelos pontos de diviso, traamos retas paralelas
s retas *a*, *b* e *c*. Pela propriedade vista no captulo
anterior, se os segmentos determinados em *t* so
congruentes, ento os segmentos determinados
em *m* tambm so congruentes. Chama-
<p>
  mos essas medidas de *v*.
  Ento:

 _`[Reta no adaptada_`]

 A{bB{c=2u3u=23
 M{nN{p=2v3v=23
 A{bB{c=M{nN{p, o que significa que os segmentos ^c?A{b*, ^c?B{c*, ^c?M{n* e ^c?N{p* so proporcionais.
<R->

  Essa relao  conhecida como teorema de Tales, em homenagem ao matemtico
grego, Tales, que a desenvolveu.
<206>
  Podemos, ento, enunciar o teorema da seguinte maneira:

  Um feixe de paralelas determina em duas transversais segmentos proporcionais.

<p>
<F->
        t     m
     {a       {m
:::::::t:::::::::::::: a
   {b           {n
:::::t:::::::::::::::: b
 {c               {p
:::t:::::::::::::::::: c
                   
<F+>

 a_lb_lc :> A{bB{c=M{nN{p

  Podemos ainda considerar outras propores a partir do teorema de Tales:
 o A{bA{c=M{nM{p
 o B{cA{c=N{pM{p
 o A{bM{n=B{cN{p

  Veja algumas aplicaes do teorema de Tales.
<R+>
 1- Na figura a seguir, temos r_ls_lt. Vamos determinar a medida x indicada.
  Pelo teorema de Tales, temos:
<p>
 102=8x
 10x=28 -- propriedade fundamental das propores
 10x=16
 x=1610
 x=1,6

<F->
                
::::::::t:::::::::::::: r
    8          10 
                   
:::::t::::::::::::::::: s
  x                2  
:::t::::::::::::::::::: t
                    
<F+>

 2- Vamos determinar a medida de y na figura a seguir, sabendo que a_lb_lc.
  Pelo teorema de Tales, temos:
<p>
 ?y+2*y=?y-2*3
 3`(y+2`)=y`(y-2`) -- propriedade fundamental das propores
 3y+6=y2-2y
 -y2+3y+2y+6=0
 -y2+5y+6=0
 y2-5y-6=0 -- equao do 
  2 grau
 d=`(-5`)2-4`(1`)`(-6`)=25+24=
  =49
 y=?-`(-5`)+:-49*2=?5+:-7*2
 y=122=6
 y=-22=-1
 Como y=-1 no serve (no existe medida de segmento negativa), ento y=6.

<F->
               
::::::::t::::::::::::::: c
     y           3
::::::t::::::::::::::::: b
y+2               y-2
                   
:::t:::::::::::::::::::: a
                     
<F+>

<207>
 Para verificar se a resposta obtida est certa, basta verificar a validade do teorema
de Tales substituindo y pelo valor encontrado:
 ?y+2*y=?y-2*3
 ?6+2*6=?6-2*3 -- 86=43
 43=43

 3- Na figura a seguir, r_ls_lt. Temos que A{b=5 cm, B{c=9 cm e D{f=28 cm. Vamos
determinar as medidas dos segmentos ^c?D{e* e ^c?E{f*.

<F->
      {a   {d  
::::::::t::::::::::::::: r
    {b       {e  
::::::t::::::::::::::::: s
                  
 {c             {f  
:::t:::::::::::::::::::: t
                     
<F+>

 Considerando D{e=x e E{f=y, temos: 

<p>
<F->
      {a   {d  
::::::::t::::::::::::::: r
    {b  5   {e  x
::::::t::::::::::::::::: s
      9           y
 {c             {f  
:::t:::::::::::::::::::: t
                     
<F+>

 x+y=28

 Pelo teorema de Tales:
 59=xy
 Aplicando a propriedade da soma nas propores, temos:
 ?5+9*5=?x+y*x :> 145=28x
 14x=528 :> 14x=140 :> x=14014=10

 Como x+y=28, fazemos:
 y=28-x
 y=28-10
 y=18
 Logo, o segmento ^c?D{e* mede 10 cm, e o segmento ^c?E{f* mede 18 cm.

<208>
<p>
 Exerccios

 1. Na figura a seguir, temos r_ls_lt. Quais so
os possveis valores de x?

<F->
               
::::::::t::::::::::::::: r
     x           2x+4
::::::t::::::::::::::::: s
x+2               25
                    
:::t:::::::::::::::::::: t
                     
<F+>

 2. Considere as figuras seguintes, em que
a_lb_lc. Nessas condies, determine o valor
de x em cada uma das figuras.
<p>
<F->
a)
              _  
::::::::t::::::w::::::: a
   40        _ 32
::::::t::::::::w::::::: b
100          _ x
              _      
:::t:::::::::::w::::::: c
              _    

b)
     _        
:::::w:::::::::::::::: c
4,5 _          3
:::::w:::::::::::::::: b
5,4 _            x
     _             
:::::w:::::::::::::::: a
     _              
<F+>

 3. Na figura a seguir,
temos que a_lb_lc.
Determine o valor de
x+y.

<p>
<F->
                           _
::::::::t:::::::::::::::::::w:: a
    5        x      2,75 _  
::::::t:::::::::::::::::::::w:: b
  8           4        y _   
                           _
:::t::::::::::::::::::::::::w:: c
                           _
<F+>

 4. Na figura, a_lb_lc. Sabendo-se que A{b=14,
A{c=42 e D{e=18, qual a medida de ^c?D{f*?

<F->
      {a   {d  
::::::::t::::::::::::::: a
    {b       {e  
::::::t::::::::::::::::: b
                  
 {c             {f  
:::t:::::::::::::::::::: c
                     
<F+>

 5. Na figura a seguir,
temos que a_lb_lc.
Qual  o valor de y-x?

<p>
<F->
      {a   {m  
::::::::t::::::::::::::: a
    {b  5   {n  x
::::::t::::::::::::::::: b
      13          y
 {c             {p  
:::t:::::::::::::::::::: c
                     
<F+>

 x+y=36

 6. Na figura a seguir _`[no adaptada_`], 
temos que
a_lb_lc_ld. Determine,
de acordo
com os dados,
as medidas x e y.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

               ::::::::::::::::::::::::

<p>
 45 -- Aplicaes do teorema de Tales
<R->

 Teorema de Tales nos tringulos

  No tringulo A{b{c da figura, traamos uma reta *r*, paralela ao lado ^c?B{c*. Assim, interceptamos os
lados ^c?A{b* e ^c?A{c* nos pontos M e P, respectivamente.

<F->
      {a
      
  {m    {p
::::t:::::::: r
         
          
 ----------u
{b          {c
<F+>

<209>
  Se traarmos pelo vrtice A uma reta *s*, paralela  reta *r*, obteremos trs retas paralelas
`(~:,?B{c*, *r* e *s*`) e duas transversais `(~:,?A{b* e ~:,?A{c*`).

<F->
        {a
::::::::t:::::::: s
         
   {m      {p
:::::t::::::::::: r
            
             
--------------u--
 {b            {c
<F+>

<R+>
 r_ls_l~:,?B{c* 
 Pelo teorema de Tales: A{mM{b=A{pP{c.
<R->

  Generalizando, temos:

  Toda paralela a um lado de um tringulo que encontra os outros dois lados em pontos
distintos determina, sobre esses dois lados, segmentos que so proporcionais.

<p>
<F->
          {a
         .a,.
    {m .a     a,. {p
 ::::!h:::::::::::h:!:::::::
   .a                 a,.
 -u-----------------------u".  
{b                          {c
<F+>

<R+>
 Se ~:,?M{p*_l~:,?B{c*, ento: A{mM{b=A{pP{c.
<R->

  Veja algumas aplicaes do teorema de Tales nos tringulos:

<R+>
 1- Na figura a seguir, ^c?R{s*_l^c?B{c*. Vamos determinar a medida de x.

<F->
           {a
          .a,.
    2x .a     a,. x+4
      .a           a,.   
 {r .h:::::::::::::::::h:. {s
  .ax                 x+1 a,. 
-u-----------------------------u".  
{b                              {c
<F+>

<p>
 Pelo teorema de Tales aplicado nos tringulos:
 2xx=?x+4*?x+1*
 2x`(x+1`)=x`(x+4`)
 2x2+2x=x2+4x
 2x2+2x-x2-4x=0
 x2-2x=0
 x`(x-2`)=0
 x=0
 ou 
 x-2=0 :> x=2
 Como x=0 no serve, ento x=2.

<210>
 2- Num tringulo A{b{c, uma reta *r*, paralela ao lado ^c?B{c*, ir dividir o lado ^c?A{b* em dois segmentos
cujas medidas so 20 cm e 30 cm. Sabendo que o lado ^c?A{c* mede 80 cm, vamos obter as
medidas dos segmentos determinados pela reta *r* nesse lado ^c?A{c*.
  Pelo enunciado do problema, temos a figura a seguir, em que x e y so as medidas
dos segmentos formados em ^c?A{c* pela reta *r*.
<L>
<F->
           {a
      20 .a,. x
        .a     a,. 
 :::::!h:::::::::::h:!:::::: r 
30 .a                 a,. y
  -u-----------------------u".  
 {b                          {c
<F+>

 x+y=80

 Pela aplicao do teorema de 
  Tales nos tringulos, temos:
 2030=xy
 ?20+30*20=?x+y*x
 5020=80x
 50x=1.600
 x=1.65050
 x=32
 Como x+y=80, temos:
 y=80-x
 y=80-32=48
 Ento, os segmentos determinados medem 32 cm e 48 cm.

<p>
 Exerccios

 _`[Para os exerccios 4, 6 e 7, pea orientao ao professor_`]

 1. Determine o valor de x em cada uma das figuras, sabendo que:
<F->
a) ^c?M{p*_l^c?B{c*

            {a
         7 .a. 8
          .a   a. 
     {m .h:::::::h. {p
      .a           a.
21 .a               a. x
  -u-------------------u.
{b                      {c

<p>
b) ^c?P{q*_l^c?A{b*

             {a
             .a. 5
           .a   a. {p
         .a      .a.
       .a      .a   a. x
     .a      .a       a.
   .a      .a           a.
 -u-------u---------------u.
{b  3   {q      x-1      {c

c) ^c?D{e*_l^c?B{c*

  {b
   .
   la.
 x l  a.
   l    a.
{d la.    a.
   l  a.    a.
3 l    a.    a.
   v------u-----u. 
  {a x+1 {e  4 {c 

<p>
d) ^c?A{b*_l^c?M{p*

               {m
        4x+2 .a.  
             .a   a. 
        {a .a       a.
         .a.          a. 
3x-1 .a   a.          a.
     .a       a.          a.
   -u-----------u-----------u.
  {n     4     {b    6     {p
<F+>

 2. No tringulo A{b{c da figura a seguir temos
que ^c?D{e*_l^c?B{c*. Sabendo que a medida do lado ^c?B{c*
do tringulo  14 cm, calcule as medidas dos
lados ^c?A{b* e ^c?A{c* e o permetro desse tringulo.
 
<p>
<F->
       {a
       ~ 
 x-1     ^~ x+4
              ^~   
 {d :::::::::::::j: {e  
3                   ^~ x  
  -----------------------}-  
 {b                         {c
<F+>

<211>
 3. No tringulo da figura a seguir, as medidas
so consideradas em centmetros. Se B{c=32 cm,
calcule o valor de x-y.

<F->
                     {a
               6   .,a.
            {e  .,a     a.
            .,a.          a.
    10 .,a     a.          a. 
    .,a           a.          a.
-"u-----------------u-----------u.
{b        x        {d     y     {c
<F+>

 4. Uma quadra de um loteamento tem a forma
da figura a seguir _`[no adaptada_`]. Na figura esto indicadas,
em metros, algumas medidas dessa quadra.
Como ^c?D{e*  paralelo a ^c?B{c*, a quadra foi dividida
em dois lotes. Determine o permetro de cada
um desses lotes.
 5. Considere um tringulo A{b{c, onde o lado
^c?A{b* mede 18 cm, e o lado ^c?B{c* mede 12 cm. Traamos
uma reta paralela ao lado ^c?B{c* do tringulo,
que ir cortar o lado ^c?A{b* no ponto D e o lado
^c?A{c* no ponto E, de tal forma que A{e=9 cm e
E{c=3 cm.
  Descubra as medidas dos segmentos ^c?A{d* e ^c?D{b*.
 6. Duas avenidas tm origem em um mesmo
ponto A e cortam duas ruas paralelas, como
mostra a figura _`[no adaptada_`]:
  Na primeira avenida, os quarteires determinados
pelas ruas paralelas medem 50 m e
80 m, respectivamente. Na segunda avenida,
partindo de A, a medida do primeiro quarteiro
 36 m menor que a medida do segundo.
Qual  a medida dos quarteires dessa segunda
avenida?
 7. Dois postes perpendiculares ao solo esto
a uma distncia de 4 m um do outro, e um fio
bem esticado de 5 m liga seus topos. Prolongando
esse fio at prend-lo no solo, so utilizados
mais 4 m de fio. Observe a figura _`[no adaptada_`]:
  Determine a distncia entre o ponto onde o fio
foi preso ao solo e o poste mais prximo a ele.

 Teorema da bissetriz interna de um tringulo
<R->

  Considerando o tringulo A{b{c da figura 1, traamos a bissetriz interna ^c?A{s* do ngulo :A
(figura 2).

<p>
<F->
Figura 1.
                    {a
                   .,a.
                .,a     a.
            .,a.          a.
        .,a                 a. 
    .,a                       a.
-"u-----------------------------u.
{b                              {c

Figura 2.

                      {a
                    ~.
                ~^    a.  
            ~^ a1 a#ba.
        ~^                a.
    ~^                      a.
}-----------------------------
{b               {s             {c
<F+>

<212>
  Traamos pelo vrtice C uma reta paralela  bissetriz ^c?A{s*, que ir encontrar o prolongamento
do lado ^c?A{b* no ponto E.

<p>
  Considerando o tringulo B{c{e e ^c?A{s*_l^c?E{c*, temos:
 A{bA{e=B{sS{c I
<R+>
 Mas: m=a1 (ngulos correspondentes)
 n=a2 (ngulos alternos internos)
 a1=a2 (^c?A{s*  bissetriz de :A)
<R->
  Assim, m=n :> tringulo A{e{c  issceles :> ^c?A{e*==^c?A{c*.
  Substituindo ^c?A{e* por ^c?A{c* na proporo I, temos: A{bA{c=B{sS{c.
  De modo geral, temos:

  A bissetriz de um ngulo interno de um tringulo determina,
sobre o lado oposto, segmentos que so proporcionais aos
lados do tringulo que formam o ngulo considerado.

  Se ^c?A{s*  bissetriz do ngulo :A do tringulo a seguir _`[no adaptado_`], ento:

 A{bA{c=B{sS{c ou A{bB{s=A{c=S{c.

  Vamos resolver alguns problemas em que aplicamos essa propriedade.

<R+>
 1- Na figura a seguir _`[no adaptada_`], ^c?B{d*  bissetriz interna do ngulo :B. Vamos determinar o valor de x.
  Pelo teorema da bissetriz interna, temos:
 x6=4x
 xx=64
 x2=24
 x=24
 x=26
 Ento, x=26.

<213>
 2- Num tringulo M{n{p, a bissetriz interna ^c?M{c* do ngulo :M determina no lado ^c?N{p* os segmentos ^c?N{c* e
^c?C{p* cuja razo N{cC{p=
  =23. Sabendo-se que M{n=
  =12 cm, determinar a medida do lado ^c?M{p*.
  Pelo enunciado do problema, temos a figura a seguir _`[no adaptada_`], em que x  a medida do lado ^c?M{p*.
  Pelo teorema da bissetriz interna:
 12x=N{cC{p
 N{cC{p=23 :> 12x=23 :> 2x=123 :> 2x=36 :> x=362=18
 Ento, M{p=18 cm.

 Exerccios

 _`[{para os exerccios 1, 3 e 5, pea orientao ao professor_`]

 1. De acordo com a condio dada em cada
item, calcule o valor de x em cada figura _`[no adaptada_`].
 a) ^c?A{d*  a bissetriz do ngulo :A.
 b) ^c?C{m*  a bissetriz do ngulo :C.
 c) ^c?B{p*  a bissetriz do ngulo :B.
<p>
 d) ^c?A{d*  a bissetriz do ngulo :A.

 2. Considere um tringulo A{b{c em que os lados
^c?A{b* e ^c?A{c* medem, respectivamente, 7,5 cm e
10 cm. A bissetriz do ngulo interno :A determina
sobre o lado oposto ^c?B{c* os segmentos ^c?B{d* e
^c?D{c*, cujas medidas so expressas, em centmetros,
por x-2 e x, respectivamente. De acordo
com esses dados, qual  a medida do lado ^c?B{c* do tringulo?
 3. No tringulo A{b{c da figura _`[no adaptada_`], ^c?A{d*  a bissetriz
interna do ngulo :A. Determine o valor de y-x.
 4. Os lados de um tringulo A{b{c medem
A{b=4 cm, A{c=5 cm e B{c=6 cm. Se ^c?B{d*  a
bissetriz interna do ngulo :B, quais as medidas
dos segmentos ^c?A{d* e ^c?D{c*?
 5. Veja o tringulo A{b{c da figura a seguir _`[no adaptada_`], em que
^c?P{m*_l^c?B{c* e ^c?A{d*  a bissetriz
interna do ngulo :A. Nessas
condies, determine:
 a) o valor de x+y+z.
 b) o permetro do tringulo A{b{c.
 c) o permetro do tringulo A{p{m.

<214>
 Retomando o que aprendeu

 _`[Para os exerccios 4, 7, 8, 9 e 16, pea orientao ao professor_`]
<R->

  Responda s questes em seu caderno.
<R+>
 1. No quadrado da figura a seguir, adotando
2=1,414, a razo entre a medida da diagonal
e a medida de um lado :

<p>
<F->
A  3 cm  B
 !::::::::
 l      .a_
 l    .a  _
 l  .a    _
 l.a      _
 h::::::::j
D  3 cm C
<F+>

 _`[{diagonal: 32 cm_`]

 a) 1,414
 b) 0,707
 c) 0,3535
 d) 2
 e) 1

 2.  dado um segmento ^c?A{b*, cuja medida 
32 cm. Sobre a reta suporte de ^c?A{b* e externo
ao segmento, tomamos um ponto C, tal que A{bB{c=
  =83. 
Faa no caderno uma figura que represente
essa situao e determine a que distncia
da extremidade B do segmento deve ser
marcado o ponto C.
 a) 8 cm 
 b) 9 cm 
 c) 10 cm 
 d) 11 cm 
 e) 12 cm

 3. Consideremos um segmento ^c?A{b*, cuja medida
 84 cm. Tomando um ponto P, interno ao
segmento ^c?A{b*, temos que P{aP{b=25. 
Qual  o valor da expresso P{b-P{a?
 a) 12 
 b) 16 
 c) 36 
 d) 24 
 e) 30

 4. Na figura a seguir _`[no adaptada_`] est indicada 
a unidade de comprimento. Qual  a razo entre a medida
da base menor e a medida da base maior do
trapzio?
 a) 0,6
 b) 0,4
 c) 0,7
 d) 0,5
 e) 0,8

 5. Na figura a seguir, temos que a_lb_lc. Se
a=8,4, qual  o valor de x?

<F->
               
::::::::t::::::::::::::: a
     a           x
::::::t::::::::::::::::: b
5a               30
                    
:::t:::::::::::::::::::: c
                     
<F+>

 a) 12 
 b) 9 
 c) 6 
 d) 10 
 e) 0,8

 6. Na figura seguinte, r_ls_lt_lm. Nessas
condies, qual  o valor de y-x?

<p>
<F->
             
::::::::::t:::::::::::::: r
      2        5
::::::::t:::::::::::::::: s
    4            x
::::::t:::::::::::::::::: t
 10                y
::::t:::::::::::::::::::: m
                      
<F+>

 a) 25 
 b) 20 
 c) 18
 d) 15
 e) 10

 7. Na figura a seguir _`[no adaptada_`], 
temos que a_lb_lc.
  A medida do segmento ^c?A{b* indicado na figura :
 a) 42 
 b) 38 
 c) 36 
 d) 34 
 e) 32

<p>
 8. A figura a seguir _`[no adaptada_`] nos mostra duas avenidas
que tm origem em um mesmo ponto A e
cortam duas ruas paralelas. Na primeira avenida,
os quarteires determinados pelas ruas
paralelas tm 80 m e 90 m de comprimento,
respectivamente. Na segunda avenida, um dos
quarteires mede 60 m. Qual o comprimento
do outro quarteiro?
 a) 67,5 m 
 b) 66,5 m 
 c) 64,5 m
 d) 67 m
 e) 64 m

<215>
 9. Uma antena de tev foi colocada sobre um
bloco de concreto que mede 1 m de altura. Em
certo instante, essa antena projetou uma sombra
de 6 m, enquanto o bloco projetou uma
sombra de 1,5 m, como mostra a figura _`[no adaptada_`]:
  Nessas condies, qual  a altura da antena?
 a) 2,5 m 
 b) 3 m 
 c) 3,5 m 
 d) 3,6 m
 e) 4 m

 10. Na figura a seguir, sabe-se que ^c?R{s*_l^c?D{e* e
A{e=42 cm.

<F->
  {a
   ,. x
10   a,.  
   {r:::::h,.{s
              a,. y
   20            a,.
        --------------u".
       {d                {e  
<F+>

 Nessas condies, o valor de y :
 a) 14 cm 
 b) 18 cm 
 c) 28 cm 
 d) 24 cm
 e) 30 cm

<p>
 11. No tringulo A{b{c da figura a seguir, sabe-se
que ^c?D{e*_l^c?B{c*. Veja:

<F->
          {a  
          
           ^
    25      ^ x+30
               ^
   {d :::::::::::j {e
x-5               ^ x+10
    ------------------
   {b       70        {c
<F+>

 O permetro desse tringulo A{b{c :
 a) 160 
 b) 190 
 c) 200 
 d) 210 
 e) 220

 12. Num tringulo A{b{c, temos que A{b=x e
A{c=y. Sabendo que a diferena entre x e y  de
3 cm e a bissetriz interna do ngulo :A determina
sobre o lado ^c?B{c* segmentos de 6 cm e 5 cm,
ento o permetro do tringulo A{b{c :
 a) 44 cm 
 b) 42 cm 
 c) 40 cm 
 d) 46 cm
 e) 38 cm

 13. No tringulo A{b{c da figura, ^c?C{d*  a bissetriz
interna do ngulo :C. Observe:

<F->
                      {c
                     
                 ~^  
             ~^       
         ~^            
     ~^                 
 -}----------------------u
{a              {d         {b    
<F+>

 Sabendo que A{d=3 cm, D{b=2 cm e A{c=6 cm,
o permetro desse tringulo  igual a:
 a) 18 cm 
 b) 16 cm 
 c) 15 cm 
 d) 14 cm
 e) 13 cm
 
 14. O permetro de um tringulo A{b{c 
45 cm. A bissetriz interna do ngulo :A desse
tringulo intercepta o lado ^c?B{c* em um ponto D,
tal que B{d=9 cm e C{d=6 cm. As medidas em
centmetros, dos lados ^c?A{b* e ^c?A{c* so, respectivamente:
 a) 12 e 18. 
 b) 14 e 16. 
 c) 17 e 13. 
 d) 18 e 12.
 e) 20 e 10.

 15. Na figura a seguir, temos que ^c?B{c*_l^c?D{e*_l
  _l^c?F{g*.
Ento, o valor de x-y :

<p>
<F->
                     {g
                     _ 
                   ^ _18
                 ^   _ 
               ^     _{e
             ^     ^_ 
           ^     ^  _36 
         ^     ^    _ 
       ^     ^     _{c
     ^     ^     ^ _ 
   ^     ^     ^   _x
 -----------------#
{f   y  {d 10 {b 12 {a 
<F+>

 a) 43,2
 b) 20
 c) 38,2
 d) 2,32
 e) 63,2

 16. Dois terrenos, T1 e T2, tm frente para a
rua R e fundos para a rua S. Sabe-se que o lado
^c?B{c* do terreno T1  paralelo ao lado ^c?D{e* do terreno
T2, como nos mostra a figura a seguir 
  _`[no adaptada_`].
  De acordo com essa figura, o valor de x :
 a) 5 
 b) 6 
 c) 8 
 d) 9 
 e) 10
<R->

               oooooooooooo

<216>
<p>
 Unidade 8

 Semelhana

  So semelhantes ou no so?

  Maquete  uma representao,
em dimenses reduzidas,
das formas dos projetos
arquitetnicos, por exemplo.
  As fotografias podem ser
reduzidas ou ampliadas em
tamanho, mantendo-se,
porm, a mesma forma.

 Quanta semelhana!

  Dizemos que dois ou mais
objetos que apresentam
a mesma forma, com
tamanhos diferentes ou
no, representam
figuras semelhantes.

               ::::::::::::::::::::::::

<217>
<p>
 46 -- Figuras semelhantes

 Explorando

  Veja os retngulos desenhados na malha quadriculada.

<R+>
 _`[{retngulo 1: 6u de comprimento e 4u de largura; retngulo 2: 9u de comprimento e 6u de largura_`]
<R->

  Tomando *u* como unidade de comprimento,
calcule:
<R+>
 a) a razo entre o comprimento do retngulo 1 e o comprimento do retngulo 2.
 b) a razo entre a largura do retngulo 1 e a largura do 2.
 c) Considerando as razes obtidas nos itens *a* e *b*, o que voc pode concluir sobre essas duas razes?
<R->

<p>
 Encontrando semelhanas

  Em Geometria, dizemos que duas figuras so semelhantes quando tm a mesma forma.
Vejamos melhor o que significa ter a mesma forma de ou ser semelhante a em
Geometria.
  Os dois mapas a seguir so representaes do estado do 
 Paran, mas esto em escalas
diferentes. Neles, destacamos algumas cidades. Veja:

<R+>
 _`[{mapa: "Estado do Paran". Duas figuras do mesmo mapa em tamanhos diferentes. Cidades destacadas nos mapas: Maring, Londrina, Cascavel, Ponta Grossa, Foz do Iguau, 
  Curitiba, Paranagu_`]
<R->

  Voc pode notar que os dois mapas tm a mesma forma, embora sejam de tamanhos
diferentes: o mapa 2  uma ampliao do mapa 1. 
<p>
Dizemos que esses mapas representam
figuras semelhantes.

<218>
  Voc j ouviu falar de alguma cidade do estado do Paran?

<R+>
 _`[{foto_`]
 Legenda: A regio onde fica a cidade de Cascavel  responsvel pela
produo de 26% dos gros de todo o estado do 
  Paran. A cidade de Cascavel conta com cerca de 280 mil habitantes.

 Fonte: ~,www.sescpr.com.br~,
  Acesso em: 10 fev. 2009.

 _`[{foto_`] 
 Legenda: O municpio de 
  Londrina est localizado na poro norte
do Paran e conta com cerca de 430 mil habitantes.

 Fonte: ~,www.londrina.pr.gov.br~,
  Acesso em: 10 fev. 2009. 

 _`[{foto_`]
 Legenda: Com avenidas largas e amplas reas verdes, a cidade de Maring foi
planejada para conciliar crescimento econmico e preservao ambiental.
Alm de suas reservas e parques, a cidade ainda conta com uma farta
arborizao de ruas e praas, proporcionando 40 m2 de rea verde por
habitante.

 Fonte: ~,www.maringa.pr.gov.br~,
  Acesso em: 10 fev. 2009.

 _`[{foto_`]
 Legenda: Com inmeros parques e bosques, Curitiba, a capital do
estado do Paran,  uma das cidades brasileiras com maior
rea verde por habitante. Devido aos grandes investimentos
na rea de preservao ambiental, Curitiba 
<p>
   conhecida internacionalmente como Capital Ecolgica.

 Fonte: ~,www.metrosul.org.br~, 
  Acesso em: 10 fev. 2009.
<R->

  Voltando aos mapas da pgina 619, vamos destacar as distncias aproximadas, em
linha reta, entre Curitiba (capital) e Londrina (norte do estado); e entre 
 Curitiba e Cascavel
(oeste do estado). Vamos indicar
tambm o ngulo formado por esses
segmentos que traamos, cujo vrtice
est em Curitiba.

<R+>
 _`[Mapa 1: Escala 0:125 km; Curitiba -- Londrina 2,5 cm; Curitiba -- Cascavel 3,5 cm; ngulo 47
  mapa 2: Escala 0:78 km; 
  Curitiba -- Londrina 4,0 cm; Curitiba -- Cascavel 5,6 cm; ngulo 47_`]
<R->

<219>
  Observando e comparando os mapas, voc pode notar que:
<R+>
 o Os dois ngulos correspondentes tm medidas iguais `(47`).
 o As razes entre as distncias correspondentes so iguais, pois:

 Curitiba -- Londrina :> 2,54,0=58
 Curitiba -- Cascavel :> 3,55,6=58
 2,54,0=3,55,6=58
 Logo, as distncias correspondentes so proporcionais.
<R->

  Vejamos agora o quadriltero
formado pelas cidades de 
 Curitiba,
Londrina, Maring e Cascavel.

<R+>
 _`[{dois mapas: "Estado do 
  Paran". O mapa 2  uma ampliao do mapa 1. Uma linha vermelha liga as cidades de 
  Curitiba, Londrina, Maring e Cascavel, formando um quadriltero_`]
<R->

  Vamos considerar como vrtices os pontos que representam as quatro cidades no mapa.
As distncias em linha reta entre essas cidades sero consideradas como as medidas dos
lados do quadriltero formado.
  Organizando uma tabela com essas informaes:

<R+>
 _`[Tabela adaptada_`]
 Distncia entre as cidades do 
  estado do Paran

 Distncia: Curitiba -- Londrina
 Mapa 1: 2,5 cm
 Mapa 2: 4,0 cm

 Distncia: Londrina -- Maring
 Mapa 1: 0,75 cm
 Mapa 2: 1,2 cm

 Distncia: Maring -- Cascavel
 Mapa 1: 2,0 cm
 Mapa 2: 3,2 cm

<p>
 Distncia: Cascavel -- Curitiba
 Mapa 1: 3,5 cm
 Mapa 2: 5,6 cm
 _`[Fim da tabela_`]

  Note que:
 o Os ngulos correspondentes nos dois mapas possuem medidas iguais.
 o As distncias correspondentes nos dois mapas (as medidas dos lados dos quadrilteros) so proporcionais, pois:
 2,54,0=0,625
 0,751,2=0,625
 2,03,2=0,625
 3,55,6=0,625
 2,54,0=0,751,2=2,03,2=
  =3,55,6=0,625
<R->

<220>
  Em Geometria, duas figuras so semelhantes quando todos os ngulos correspondentes
tm medidas iguais e quando todas as distncias correspondentes so proporcionais.

 Brasil Real 

 wr Atualidades
  Turismo

  Quer reproduzir uma figura em tamanho maior ou menor do que o original?  fcil!
  Para facilitar a ampliao ou reduo de uma figura,  s construir uma malha quadriculada
sobre ela. Para ampliar, basta aumentar o tamanho dos quadradinhos da malha, e para reduzir,
basta diminuir. Reproduzindo o que est em cada quadradinho da malha, obtm-se um desenho
semelhante ao desenho inicial.
  Por exemplo, vamos diminuir em 12 esta imagem do Cristo Redentor:

<R+>
 _`[{foto do Cristo Redentor_`]
 Legenda: A esttua do Cristo Redentor foi inaugurada em 12 de
outubro de 1931, na cidade do Rio de Janeiro. Feita de
pedra e cimento, com projeto do engenheiro Heitor da Silva
Costa, est instalada no topo do Morro do Corcovado, a 710
metros do nvel do mar. A ideia de erguer o monumento
esteve ligada  comemorao do centenrio da
Independncia do Brasil. Em 7 de julho de 2007, a esttua
foi eleita uma das sete maravilhas do mundo moderno.

 Fonte: ~,www.rio.rj.gov.br~,
  Acesso em: 5 fev. 2009.
<R->

  Primeiro, contornamos a foto construindo um
retngulo. Depois, dividimos o comprimento e
a largura desse retngulo em partes iguais, e
traamos segmentos paralelos aos lados desse
retngulo, como mostra a figura _`[no adaptada_`]. No
caso, temos um quadriculado 6 por 6.

  Observe que, se dividirmos em
mais partes, mais fcil ficar a
reproduo do desenho.

<221>
  Em seguida, construmos
outro retngulo, com comprimento
e largura medindo,
respectivamente, metade
das dimenses do retngulo
anterior. Em seguida,
montamos outro quadriculado
6 por 6.
  Depois,  s reproduzir
o desenho nesse
novo quadriculado
e, assim, obter a figura
do Cristo Redentor,
semelhante
 da foto na razo 12.

<R+>
 1. Faa o desenho do Cristo Redentor semelhante  imagem da foto inicial, triplicando as medidas do retngulo que a contorna.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 2. Pesquise as medidas reais da esttua do Cristo Redentor do Rio de Janeiro e responda:
<p>
 a) De quanto deve ser a distncia correspondente aos braos abertos do Cristo em uma esttua
semelhante na razo 13?
 b) Quantos centmetros de altura ter a figura do Cristo Redentor em um desenho em que 1 cm corresponde a 1 m?
<R->

               ::::::::::::::::::::::::

<p>
 47 -- Polgonos semelhantes

  Observe os quadrilteros A{b{c{d e M{n{p{q:

<F->
     {a  
      l~ 
      l   a,. 6 cm 
      l 82  a,. 
      l           a,. 
      l               a,. 
4 cm l                   a,. {b
      l               78 
      l                     
      l                   3 cm
      l 85      115 
      v----------------
     {d     5 cm     {c

<R+>
_`[:A: 82; :B: 78; 
  :C: 115; :D: 85_`]
<R->

<p>
       {m  
        l~ 
        l   a,. 2,4 cm 
        l 82  a,. 
        l           a,. 
1,6 cm l               a,. {n
        l           78 
        l                
        l               1,2 cm 
        l 85  115 
        v------------
       {q   2 cm   {p

<R+>
_`[:M: 82; :N: 78; 
  :P: 115; :Q: 85_`]
<R->
<F+>

  Note que:
<R+>
 o Os ngulos correspondentes possuem a mesma medida: :A==:M, :B==:N, :C==:P, :D==:Q.
 o Os lados correspondentes so proporcionais:
<R->

<R+>
 A{bM{n=62,4=2,5
 B{cN{p=31,2=2,5
 C{dP{q=52=2,5
 A{d=M{q=41,6=2,5
 A{bM{n=B{cN{p=C{dP{q=
  =A{dM{q=2,5
<R->

<222>
  Dizemos, ento, que os quadrilteros A{b{c{d e M{n{p{q so semelhantes e indicamos:

<R+>
 quadriltero A{b{c{d $?; 
  quadriltero M{n{p{q
<R->

 $?; -- smbolo de semelhana

  Dois polgonos com o mesmo nmero de lados so semelhantes quando
possuem os ngulos internos respectivamente congruentes
e os lados correspondentes proporcionais.

  Volte a analisar os quadrilteros A{b{c{d e M{n{p{q.
  Observe que a razo entre qualquer lado do quadriltero A{b{c{d e o lado correspondente
no quadriltero M{n{p{q  sempre a mesma: 2,5. Dizemos, ento, que 2,5  a razo de semelhana
do quadriltero A{b{c{d para o quadriltero M{n{p{q.
  Para saber se dois polgonos so semelhantes, sempre devemos verificar as duas condies:
<R+>
 o ngulos internos respectivamente congruentes;
 o lados correspondentes proporcionais.
<R->
  Apenas uma das condies no garante a semelhana, como podemos comprovar
pelos exemplos a seguir.

<R+>
 1- Verificar se os quadrilteros A{b{c{d e M{n{p{q so semelhantes.

<F->
     A    8 cm     B
      pccccccccccpcc
      l_-_        l_-_
      v--#        v--#
6 cm l              _ 6 cm
      l              _
      pcc        pcc
      l_-_        l_-_
      v--#--------v--#
     D    8 cm     C

     M    6 cm   N
      !::::::::!::
      l_-_      l_-_
      h::j      h::j
3 cm l            _ 3 cm 
      !::      !::
      l_-_      l_-_
      h::j::::::h::j
     Q    6 cm   P
<F+>

 Considerando os quadrilteros, verificamos que:
 o os ngulos so congruentes (so retos);
 o os lados correspondentes no so proporcionais.

 A{bM{n=86=43
 B{cN{p=63=2
 A{bM{n=B{cN{p
 Logo, neste caso, os quadrilteros A{b{c{d e M{n{p{q no so semelhantes.

<223>
 2- Verificar se os quadrilteros a seguir so semelhantes.

<p>
<F->
     A    8 cm     B
      pccccccccccpcc
      l_-_        l_-_
      v--#        v--#
6 cm l              _ 6 cm
      l              _
      pcc        pcc
      l_-_        l_-_
      v--#--------v--#
     D    8 cm     C

       M   4 cm  N
        ccccccccccm
                 
3 cm            3 cm
     ----------
    Q   4 cm  P 
<F+>

 Fazendo a verificao, temos:
 o Os lados correspondentes so proporcionais.

 A{bM{n=84=2
 B{cN{p=63=2
 A{bM{n=B{cN{p=2

<p>
 o Os ngulos correspondentes no so congruentes.

 Neste caso, os quadrilteros A{b{c{d e M{n{p{q no so semelhantes.
<R->

  Observe, agora, algumas situaes em que usamos o conceito de semelhana entre
dois polgonos.

<R+>
 1- Verificar se os paralelogramos A{b{c{d e M{n{p{q so semelhantes.

<F->
    D                 C
     cccccccccccccccccm
                     
                     8 cm
                   
 -----------------
A      20 cm     B 

_`[:A: 60_`]

<p>
      Q        P
       ccccccccm
              
              
             15 cm
           
          
 --------
M 6 cm  N 

 _`[:N: 120_`]
<F+>

 Pelas propriedades dos paralelogramos, estudadas no ano anterior, completamos
as medidas dos ngulos internos e dos lados dos dois polgonos dados.

<p>
<F->
    D                C
     cccccccccccccccccm
                     
                     
                   
 -----------------
A                B 

_`[^c?A{d* e ^c?C{b*: 8 cm; ^c?D{c* e ^c?A{b*: 20 cm; :A e :C: 60; :B e :D: 120_`]

      Q       P
       cccccccm
             
             
               
          
         
 -------
M      N 

_`[^c?M{q* e ^c?N{p*: 15 cm; ^c?Q{p* e ^c?M{n*: 6 cm; :M e :P: 60; :N e :Q: 120_`]
<F+>

<224>
 Verificamos que:
 o os ngulos correspondentes so respectivamente congruentes;
 o os lados correspondentes so proporcionais.

 A{bP{n=2015=43
 B{cM{n=86=43
 A{bP{n=B{cM{n=43
 Ento, conclumos que A{b{c{d$?;
  $?;M{n{p{q, e a razo de semelhana  43. 

 2- Os quadrilteros A{b{c{d e E{f{g{h so semelhantes. O lado ^c?A{b* do primeiro corresponde ao
lado ^c?E{f* do segundo. Sabendo que a razo de semelhana do primeiro para o segundo 
de 23, qual  a medida do lado ^c?E{f* do quadriltero E{f{g{h?

<p>
<F->
                 D
              ~^
          ~^     
    A~^          
      l              
      l              
5 cm pcc            
      l_-_             
      v--#--------------uC
     B       

_`[:A: 110_`]

{f     x    {e 
 pccccccccc  
 l_-_          
 v--#          
 l             
 l              
 l                     
 l                 
 v-----------------u
{g                 {h

_`[:E: 110_`]
<F+>

<p>
 Como A{b{c{d$?;E{f{g{h, temos:
 A{bE{f=23 :> 5x=23 :> 2x=15 :> x=152 :> x=7,5
 23 -- razo de semelhana
 Logo, E{f=7,5 cm.
<R->

 Uma propriedade importante

  Observe os pentgonos A{b{c{d{e e ABCDE:

<F->
           {d
           .a.
         .a   a.
       .a       a.
     .a           a.
{e .a               a. {c
                   
                  
                 
       ---------
       {a        {b

<R+>
_`[^c?A{b*: 3 cm; ^c?B{c*: 2,6 cm; ^c?C{d*: 2,6 cm; ^c?D{e*: 2,2 cm; ^c?E{a*: 2,8 cm; :A: 93; :B: 100; 
  :C: 120; :D: 97; 
  :E: 130_`]
<R->

          {d
          .a.
        .a   a.
      .a       a.
{e .a           a. {c
                
               
       -------
      {a     {b

<R+>
_`[^c?A{b*: 1,5 cm; ^c?B{c*: 1,3 cm; ^c?C{d*: 1,3 cm; ^c?D{e*: 1,1 cm; ^c?E{a*: 1,4 cm; :A: 93; :B: 100; e :C: 120; e :D: 97; e :E: 130_`]
<R->
<F+>

<225>
  Observe que:
<R+>
 o os ngulos correspondentes so respectivamente congruentes;
 o os lados correspondentes so proporcionais.
<R->

 A{bAB=31,5=2
 D{eDE=2,21,1=2
 B{cBC=2,61,3=2
 E{aEA=2,81,4=2
 C{dCD=2,61,3=2

  Ento, A{b{c{d{e$?;
 $?;ABCDE, e a razo de semelhana  2.
  Vamos, agora, calcular os permetros dos dois pentgonos.
<R+>
 Permetro `(P`) de A{b{c{d{e:
 P=3 cm+2,6 cm+2,6 cm+2,2 cm+2,8 cm
 P=13,2 cm
 Permetro `(P`) de ABCDE:
 P=1,5 cm+1,3 cm+1,3 cm+1,1 cm+1,4 cm
 P=6,6 cm
 Calculando a razo entre os permetros, temos:
 PP=13,26,6=2 -- razo de semelhana ou razo entre os lados correspondentes
<R->
 
<p>
  De modo geral:

  Quando dois polgonos so semelhantes, os permetros desses polgonos
so proporcionais s medidas de dois lados correspondentes quaisquer.

  Nos pentgonos que acabamos de ver, temos:

<R+>
 permetro de A{b{c{d{e  
  permetro de ABCDE=
  =A{bAB=B{cBC=
  =C{dCD=D{eDE=
  =E{AEA
<R->

  Vamos aplicar essa propriedade analisando o problema a seguir.
  Um tringulo M{n{p, de permetro igual a 36 cm,  semelhante ao tringulo A{b{c da figura
a seguir. Determinar as medidas dos lados do tringulo M{n{p.

<p>
<F->
      A 
      p~ 
      l   ^~   10 cm
5 cm l       ^~    
      l           ^~   
      l               ^~   
      v------------------}-  
     {b      9 cm         {c
<F+>

<226>
  Como dA{b{c$?;dM{n{p, ento os lados correspondentes so proporcionais.
  Indicando as medidas dos lados do dM{n{p por x, y e z, temos:

<R+>
 x5=y9=z10= permetro do tringulo M{n{p  permetro do tringulo A{b{c=3624=32 
 32 -- razo de semelhana
<R->

 Assim:
 x5=32 :> 2x=15 :> x=7,5
 y9=32 :> 2y=27 :> y=13,5
 z10=32 :> 2z=30 :> z=15
  Ento, os lados do tringulo M{n{p medem 7,5 cm, 13,5 cm e 15 cm.

 Exerccios

<R+>
 1.  dado o retngulo A{b{c{d:

<F->
A                 B
 pcccccccccccccpcc
 l_-_           l_-_
 v--#           v--#
 l                 _ 15 cm
 l                 _
 pcc           pcc
 l_-_           l_-_
 v--#-----------v--#
D     24 cm      C
<F+>

 Verifique quais dos retngulos seguintes so
semelhantes ao retngulo A{b{c{d.
 a)
<F->
 pcccccccccccpcc
 l_-_         l_-_
 v--#         v--#
 l               _ 20 cm
 pcc         pcc
 l_-_         l_-_
 v--#---------v--#
      30 cm      
<F+>

 b)
<F->
 pcccccccccccccccpcc
 l_-_             l_-_
 v--#             v--#
 l                   _
 l                   _ 25 cm
 l                   _
 pcc             pcc
 l_-_             l_-_
 v--#-------------v--#
         40 cm      
<F+>

 2. Os paralelogramos seguintes so semelhantes?
Justifique sua resposta.

<F->
      D           C
       cccccccccccm
3 cm             
                
    -----------
   A   6 cm  B 

<p>
       D            C
        ccccccccccccm
                   
5 cm             
                  
    ------------
  A   10 cm   B 

 _`[:A e :A: 70_`]
<F+>

 3. Pense bem e responda:
 a) Dois retngulos so sempre semelhantes?  
 b) Dois quadrados so sempre semelhantes?
 c) Dois tringulos so sempre semelhantes?
 d) Dois tringulos equilteros so sempre semelhantes?
 e) Dois polgonos regulares com o mesmo nmero de lados so sempre semelhantes?

 4. Os hexgonos H1 e H2 a seguir _`[no adaptados_`] so regulares; logo, so semelhantes.

<p>
 _`[Medida de cada lado do hexgono H1: 20; medida de cada lado do hexgono H2: 15_`]

 a) Qual  a razo de semelhana entre H1 e H2?
 b) Qual  a razo entre os permetros de H1 e H2?
 c) O que podemos afirmar sobre os ngulos internos de H1 e H2?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<227>
 5. Um retngulo A{b{c{d de lados A{b=12 m
e B{c=8 m  semelhante a outro retngulo
M{n{p{q. Sabendo que a razo de semelhana de
A{b{c{d para M{n{p{q  14, determine as dimenses
do retngulo M{n{p{q.

 6. Os dois trapzios a seguir so semelhantes.

<F->
   B  30   C
    pccccccc^ 
    l_-_       ^
    v--#         ^  
24 l              ^ 40
    l                ^   
    pcc               ^
    l_-_                 ^
    v--#-------------------u
   A         62          D

   Q   x    P
    pccccccc^ 
    l_-_       ^
    v--#         ^  
12 l              ^ y
    pcc             ^
    l_-_               ^
    v--#-----------------u
   M         z          N

_`[:C=:P; :D=:N_`]
<F+>

 a) Qual  a razo de semelhana entre os trapzios
A{b{c{d e M{n{p{q?
 b) Calcule as medidas x, y e z indicadas.
 c) Sem fazer clculos, determine a razo entre os permetros de A{b{c{d e M{n{p{q.

 7. Um quadrado tem lado medindo 5 cm.
Qual ser o permetro de um outro quadrado,
sabendo-se que a razo de semelhana entre o
primeiro e o segundo  25?
 8. Um retngulo A{b{c{d  semelhante ao retngulo
a seguir e tem permetro igual a 90 cm. Calcule
as medidas dos lados do retngulo A{b{c{d.

<F->
 pcccccccccccccpcc
 l_-_           l_-_
 v--#           v--#
 l                 _ 10 cm
 l                 _
 pcc           pcc
 l_-_           l_-_
 v--#-----------v--#
       15 cm      
<F+>

<p>
 9. Os pentgonos A{b{c{d{e e ABCDE _`[no adaptados_`]
so semelhantes. O lado ^c?C{d* corresponde
ao lado ^c?CD*, e o lado ^c?A{b* corresponde ao lado ^c?AB*.
 a) Qual a razo de semelhana entre A{b{c{d{e e ABCDE?
 b) Qual a medida x indicada?
 c) Qual a medida y indicada?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 10. Os trapzios a seguir so semelhantes, e o
permetro do trapzio 2  37 cm. Determine
as medidas x, y, z e w dos lados do trapzio 2.

<p>
<F->
         28
      -------- 
              ^
26             ^ 34
         1       ^ 
                    ^
 ---------------------u
          60

        z
    -------- 
            ^
w      2     ^ y 
                ^ 
------------------u
         x
<F+>

 11. O permetro de um pentgono A{b{c{d{e,
 245 cm, e o lado ^c?A{b* desse pentgono mede
52 cm. Qual  o permetro do pentgono G{h{i{j{k,
semelhante a A{b{c{d{e, se o lado ^c?G{h*, correspondente
ao lado ^c?A{b*, mede 13 cm?

<p>
 12. Dois terrenos retangulares so semelhantes,
e a razo entre seus lados  25. Se o
terreno maior tem 50 m de frente, e seu contorno
(permetro) tem 400 m, determine:
 a) as dimenses do terreno menor.
 b) a medida do contorno do terreno menor.

 13. Dois polgonos so semelhantes, e a razo
de semelhana do primeiro para o segundo  34.
  Determine o permetro do segundo polgono, sabendo
que o permetro do primeiro  27 cm.

 14. A planta de uma casa, que  uma representao
reduzida das dimenses da casa no
real, foi feita na escala 1200
(razo de semelhana). Nessa planta, uma sala retangular tem
dimenses 5 cm e 6 cm.
<p>
 a) Quais as dimenses reais dessa sala?
 b) Qual a rea dessa sala na planta?
 c) Qual a rea real dessa sala?
<R->

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

 Fim da Quinta Parte